Los números reales comprenden el conjunto formado por los números racionales (incluyendo naturales y enteros) y los números irracionales. Se denota mediante el símbolo R. Poseen las siguientes propiedades:
Propiedad Conmutativa: cuando se suman o multiplican dos números no importa su orden.
Propiedad Asociativa: cuando se suman o multiplican tres números, no importa cuáles dos se suman o multiplican primero.
Propiedad Distributiva: si se multiplica un número por una suma de dos números, se obtiene el mismo resultado al multiplicar el número por cada uno de los términos y luego sumar los resultados.
Tipos de números reales
Número racional
Un número racional es todo aquel número que es simbolizado como el cociente de dos números enteros, esto significa que un número racional es el conglomerado de todas las fracciones habituales con numerador y denominador. La Q es la que simboliza al conglomerado de los números racionales.
Los números racionales pueden ser restados, multiplicados, sumados o divididos (a excepción del cero). El producto de estas operaciones será siempre otro número de tipo racional. Como los números enteros pueden ser tanto positivos como negativos, se utiliza la Ley de Signos. La manera de concretar las operaciones cambiará según la presencia o carencia de igual denominador en las fracciones.
Hubo un periodo en que los números no eran parte de la vida diaria; existió un momento en el que fueron encontrados y durante siglos se pensó que se trataban de un elemento autónomo de las personas y de carácter abstracto y universal (cada número simboliza la misma cantidad en todas las sociedades e idiomas).
Número irracional
Son los números de la recta real que no pueden representarse a través del cociente de dos enteros y son conocidos por tener muchas cifras decimales no periódicas. De esta forma, puede describirse al número irracional como un decimal sin fin no periódico.
Puesto que en la práctica de calcular la longitud de una parte de recta solo puede generar como resultado un número fraccionario, al principio, los griegos reconocieron los números con las longitudes de partes de la recta. Al verificar de la manera establecida nace la necesidad de buscar un tipo de números más extensos que la de los números fraccionarios.
Pitágoras de Samos y su institución educativa descubrieron la presencia de partes de recta ilimitados con respecto a un segmento que se exhibe como unidad en un sistema de cálculo. Debido a esto, hay partes de recta cuya longitud calculada en dicho sistema no es un número fraccionario.
Número algebraico
Un número algebraico es cualquier elemento de tipo real o complicado que sea resolución de un polinomio no anulado con coeficientes racionales.
Se conocen así a los números irracionales que nacen de solucionar algún ejercicio algebraico y se escribe con un número limitado de anidados o radicales libres. Generalmente, las raíces no concretas de cualquier orden se localizan en el interior de dicho conglomerado, o sea, las raíces cúbicas, cuadradas, entre otros.
Número trascendente
Un número trascendental es una clase de número irracional que no es raíz de un polinomio con coeficientes enteros. En este contexto, número trascendente es lo contrario de número algebraico. La descripción no procede de una sencilla vinculación algebraica, sino que se define como una cualidad esencial de las matemáticas.
El hallazgo de este tipo de números ha facilitado la muestra de la imposibilidad de solucionar algunos viejos problemas de geometría que sólo usan compás y regla.
El más reconocido de ellos es el de la cuadratura del círculo, y su inviabilidad radica en que pi es trascendental. No pasa lo mismo con los otros dos “ejercicios griegos” más conocidos, la duplicación del cubo y la trisección del angulo, que se forman por la inviabilidad de elaborar con compás y regla números procedentes de polinomios de nivel mayor a dos.